Question

2．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π），已知点M（0，1），N（π，-1）分别是其图象上相邻的最高点与最低点．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）²+2af（x）+a（a∈R），当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=2（π-0），代入点M（0，1）可得φ值，可得解析式；
（Ⅱ）结合题意换元可得t=f（x）=cosx∈[0，1]，可得g（x）=（t+a）²+a-a²，t∈[0，1]，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（I）由题意可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=2（π-0），解得ω=1，
∴f（x）=sin（x+φ），代入点M（0，1）可得sinφ=1，
结合0≤φ≤π可得φ=$\frac{π}{2}$，故f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），
由诱导公式化简可得函数f（x）的解析式为f（x）=cosx；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，t=f（x）=cosx∈[0，1]，
∴g（x）=f（x）²+2af（x）+a=t²+2at+a=（t+a）²+a-a²，t∈[0，1]，
当-a≤$\frac{1}{2}$即a≥-$\frac{1}{2}$时，由二次函数可知y=（t+a）²+a-a²在当t=1时取最大值1+3a=1，解得a=0，符合题意；
当-a＞$\frac{1}{2}$即a＜-$\frac{1}{2}$时，由二次函数可知y=（t+a）²+a-a²在当t=0时取最大值a=1，解得a=1，不符合题意；
综上可得a的值为0．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及分类讨论和二次函数区间的最值，属中档题．