Question

17．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$的对称点在抛物线C的准线l₁上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l₂：3x-4y+7=0，在抛物线C求一点P，使得P到直线l₁和l₂的距离之和最小，并求最小距离．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点O关于直线l的对称点P（-1，2），再代入标准方程求出2p即求得方程．
（2）过点F（1，0）作FQ⊥l₁，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l₂，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值．

解答 解：（1）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点O，关于直线l：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$的对称点P（a，b），则有
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}•\frac{1}{2}=-1}\\{\frac{b}{2}=\frac{1}{2}•\frac{a}{2}+\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=2，
点P（a，b）在该抛物线C的准线l₁上，∴-$\frac{p}{2}$=-1，
∴p=2，∴抛物线C的方程是y²=4x；
（2）如图所示，
过点F（1，0）作FQ⊥l₁，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l₂，垂足为M．
则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值．
最小距离|FQ|=$\frac{|3+7|}{\sqrt{9+16}}$=2．
FQ的方程为y=-$\frac{4}{3}$（x-1），即x=1-$\frac{3}{4}$y，
代入y²=4x，可得y²=4-3y，
∴y=1或-4，
由图象可得P（$\frac{1}{4}$，1）．

点评 本题考查抛物线标准方程求解，点关于直线的对称点的求解．考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．