Question

15．在等差数列{a_n}中，设a₃=5，S₃=9，在等比数列{b_n}中，设b₂=4与b₅=32，解答下列问题：
（1）求a_n；
（2）求b_n；
（3）若c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差中项及S₃=9可知a₂=3，利用d=a₃-a₂可知公差d=2，进而利用a_n=a₂+（n-2）d计算即得结论；
（2）通过代入计算可知q=$\root{3}{\frac{{b}_{5}}{{b}_{2}}}$=2，进而利用b_n=b₂•q^n-2计算即得结论；
（3）通过（1）可知等差数列{a_n}的前n项和为n²，通过（2）可知等比数列{b_n}的前n项和为2ⁿ⁺¹-2，进而相加即得结论．

解答 解：（1）∵S₃=a₁+a₂+a₃=3a₂=9，
∴a₂=3，
又∵a₃=5，
∴等差数列{a_n}的公差d=a₃-a₂=5-3=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（2）∵b₂=4，b₅=32，
∴q=$\root{3}{\frac{{b}_{5}}{{b}_{2}}}$=2，
∴等比数列{b_n}的公比为2，
∴b_n=b₂•q^n-2=4•2^n-2=2ⁿ；
（3）由（1）可知等差数列{a_n}的前n项和为$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
由（2）可知等比数列{b_n}的前n项和为$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
∵c_n=a_n+b_n，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=n²+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．