Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（{-2，2}）$，$\overrightarrow b=（{5，m}）$，且|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$不超过5，则函数f（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx+m有零点的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先根据向量的模求出m的范围，再根据三角函数的性质和函数零点存在定理求出m的范围，根据几何概率公式计算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（{-2，2}）$，$\overrightarrow b=（{5，m}）$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，2+m），
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{{3}^{2}+（2+m）^{2}}$，
∵|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$不超过5，
∴9+（2+m）²≤25，
解得-6≤m≤2，
∵函数f（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx+m有零点，
∴m=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
∵-2≤2sin（x-$\frac{π}{3}$）≤2，
∴-2≤m≤2，
∴函数f（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx+m有零点的概率是$\frac{2+2}{2+6}$=$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了向量的模的计算，三角函数的化简和性质以及函数零点，属于中档题．