Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-sin（

π

2

-2x），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出相应的x值的集合；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）利用诱导公式和和差角公式（辅助角公式）将函数的解析式化为正弦型函数，进而根据A=2得到函数的最值，及相应的xx值的集合；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，构造关于x的不等式，解不等式，可得f（x）的单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

sinxcosx-sin(

π

2

-2x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．（6分）
所以函数f（x）的最小值为-2，
此时x满足2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，(k∈Z)，
即相应的x的取值的集合为{x|x=kπ-

π

6

， k∈Z}．（9分）
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

   (k∈Z)得
kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，  k∈Z
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，  kπ+

5π

6

]，  k∈Z． （12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换，正弦型函数的图象和性质，其中熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键．