Question

对于非空实数集A，定义A^*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D?（-∞，1]．现给出以下命题：
（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D^*⊆C^*；
（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C^*∩D≠∅；
（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D^*=∅；
（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b∈C^*，恒有a+b∈D^*．
以上命题正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：集合,简易逻辑

分析：由A^*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A^*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②③，对于①④还需要利用集合间的关系去证明．

解答： 解：由A^*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A^*是数集A的所有上界组成的集合．
（1）分别用A_max、A_min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．
由C⊆D及A^*的定义可知：C_max≤C^*_min，D_max≤D^*_min，C^*_min≤D_max，
∴C^*_min≤D^*_min，∴必有D^*⊆C^*．故（1）正确．
（2）若设C=（-∞，1）=D，满足C⊆D，而C^*={1}，此时C^*∩D=∅，故（2）不正确．
（3）若设C=（-∞，0），D=（-∞，1），满足C⊆D，而D^*=（0，1），此时C∩D^*=（0，1）≠∅，故（3）不正确．
（4）由（1）可知：对于C⊆D，必有D^*⊆C^*；取a=D^*_min-C^*_min，则对于任意的b∈C^*，必恒有a+b∈D^*．故（4）正确，
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查了新定义，理解数集A^*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．