Question

已知f（x）=e^x-ax-1（a∈R），求证：对于任意的a∈R，总存在x₀∈[0，+∞），使得f（x₀）＞0．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：f（0）=e⁰-a×0-1=0，当a≤0时，函数f（x）=e^x-ax-1在R上递增，由x＞0时，得f（x）＞0，满足要求；
当a＞0时，画y=e^x与y=ax+1的图象，从图象来做题．

解答： 解：（1）f（0）=e⁰-a×0-1=0，
当a≤0时，函数f（x）=e^x-ax-1在R上递增，∴x＞0时，f（x）＞0，满足要求；
当a＞0时，f（x₀）＞0，即ex0-ax0-1＞0即ex0＞ax0+1，
画y=e^x与y=ax+1的图象：

从图象上看，不论直线y=ax+1与y=e^x相切、相交，总有x₀＞x_A时，满足f（x₀）＞0，满足ex0＞ax0+1，
综上，对于任意的a∈R，总存在x₀∈[0，+∞），使得f（x₀）＞0．

点评：本题主要考查函数图象的应用，不等式的问题常转化为两个函数的函数值的比较．