Question

已知函数f（x）=2sinxcos（φ-x）-

1

2

（0＜φ＜

π

2

）的图象过点（

π

3

，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，将点（

π

3

，1）代人函数解析式，化简，得到cos（φ-

π

3

）=

3

2

，然后，根据0＜φ＜

π

2

，确定其值；
（Ⅱ）首先，化简函数解析式得到f（x）=sin（2x-

π

6

），然后，结合正弦函数的单调性求解其减区间．

解答： 解：（Ⅰ）将点（

π

3

，1）代人函数解析式，
1=2sin

π

3

cos（φ-

π

3

）-

1

2

．
∴2×

3

2

×cos（φ-

π

3

）=

3

2

，
∴cos（φ-

π

3

）=

3

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴-

π

3

＜φ-

π

3

＜

π

2

-

π

3

=

π

6

，
∴φ-

π

3

=-

π

6

，
∴φ=

π

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
f（x）=2sinxcos（

π

6

-x）-

1

2

=2sinx（cos

π

6

cosx+sin

π

6

sinx）-

1

2

=

3

sinxcosx+sin²x-

1

2

，
=

3

2

•2sinxcosx+

1-cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

5π

12

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z，
∴单调递减区间[

5π

12

+kπ，

5π

6

+kπ]，（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递减区间[

5π

12

+kπ，

5π

6

+kπ]，（k∈Z）．

点评：本题综合考查了三角公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题，解题关键是准确掌握三角函数的图象与性质．