Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若方程|f（x）-t|=1有三个不同的实根，求t的值；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．
（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t-1应是f（x）的极小值，解出t．
（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e-1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的单调性，判断f（1）与f（-1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范围．

解答： 解：（I）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，…（2分）
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（4分）
（II）令f′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，解得x=0，…（5分）
x，f（x），f′（x）的变化情况表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

因为方程|f（x）-t|=1有三个不同的实根，所以f（x）=t±1
故当x→∞时，f（x）→+∞，
t-1=f（x）_min=f（0）=，所以t=2；…（8分）
（III）由（II）可知f（x）在区间[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增．
所以f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
设函数g(x)=x-

1

x

-2lnx，g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2，所以g′（x）≥0（当x=1时取等号）
所以g(x)=x-

1

x

-2lnx递增，g（1）=0，a＞1，
所以f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna＞0，
所以f（1）＞f（-1）…（11分）
对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（1）-f（0）|=a-lna≤e-1，
所以1＜a≤e．

点评：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于难题．