Question

已知直线l为经过椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦点F₁，F₂（c，0）是椭圆的右焦点，若直线AB与椭圆交于A，B两点，试求△AF₂B面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆方程联立化为（a²+b²m²）y²-2b²mcy-b⁴=0，利用根与系数的关系可得|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

2b2

a2+b2m2

．利用△AF₂B面积S=

1

2

•2c•|y1-y2|与不等式的性质即可得出．

解答： 解：设直线l的方程为my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

my=x+c x2 a2 + y2 b2 =1

，化为（a²+b²m²）y²-2b²mcy-b⁴=0，
y₁+y₂=

2b2mc

a2+b2m2

，y₁y₂=-

b4

a2+b2m2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2b2cm a2+b2m2 )2+ 4b4 a2+b2m2

=

2ab2 1+m2

a2+b2m2

．
∴△AF₂B面积S=

1

2

•2c•|y1-y2|=

2ab2c 1+m2

a2+b2m2

，
设

1+m2

=t≥1，则m²=t²-1．
∴S=

2ab2ct

a2+b2(t2-1)

=

2ab2c

c2 t +b2t

≤

2ab2c

2 c2 t •b2t

=ab，当且仅当|t|=

c

b

．
当且仅当直线l经过短轴的一个端点时取等号．
∴△AF₂B面积的最大值是ab．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、弦长公式、三角形的面积计算公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．