Question

已知双曲线的一条准线与两渐近线的交点分别为A、B，相应于这条准线的焦点为F，如果△ABF是等边三角形，那么双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、4
• D、

  2 3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的渐近线方程和准线方程公式，算出右准线交渐近线于A，B的坐标．根据△AFB为等边三角形，建立关于a、b、c的方程，化简算出

3

a=b，从而得到双曲线的离心率e=2．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的准线方程为x=±

a2

c

，渐近线方程为y=±

b

a

x，
∴以右准线为例，求得它与两条渐近线交于A、B两点，
得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

）
由于△ABF是等边三角形，F（c，0），
∴c-

a2

c

=

3

2

|AB|=

3 ab

c

，即

c2-a2

c

=

3 ab

c

，化简得

3

a=b
因此，c=

a2+b2

=2a，
双曲线的离心率e=

c

a

=2．
故选B．

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了三角形的形状判断、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．