Question

20．△ABC中，A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且边BC上的高为$\frac{a}{4}$，则$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$的取值范围为[2，$2\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由三角形面积公式推导出a²=4bcsinA，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，利用均值定理得$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥2$；又$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}+{a^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{bc}+\frac{a^2}{bc}$=2cosA+4sinA=2$\sqrt{5}$sin（A+α），由此能求出$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$的取值范围．

解答 解：∵△ABC中，A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且边BC上的高为$\frac{a}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}a•\frac{a}{4}=\frac{1}{2}bcsinA$，∴a²=4bcsinA，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA．
$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥2$，当且仅当$b=c=\frac{{\sqrt{5}}}{4}a$时，等号成立，
$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}+{a^2}}}{bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{bc}+\frac{a^2}{bc}$
=2cosA+4sinA=2$\sqrt{5}$sin（A+α），tan$α=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
综上，$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$的取值范围为[2，$2\sqrt{5}$]．
故答案为：[2，2$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查三角形的边长构成的代数式的取值范围的求法，考查三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．