Question

8．在△ABC中，D是AC边的中点，A=$\frac{π}{3}$，cos∠BDC=-$\frac{2}{\sqrt{7}}$，△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，则sin∠ABD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，BC=6．

Answer 1

分析 过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，设DH=2k（k＞0），则BD=$\sqrt{7}$k，BH=$\sqrt{3}$k，在Rt△ABH中，由∠A=$\frac{π}{3}$，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S_△ABC=$\frac{1}{2}×6k×\sqrt{3}k$=3$\sqrt{3}{k}^{2}$=3$\sqrt{3}$，求出BC=6，再由$\frac{BD}{sinA}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，能求出sin∠ABD．

解答 解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
设DH=2k（k＞0），则BD=$\sqrt{7}$k，
∴BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$k，
在Rt△ABH中，∠A=$\frac{π}{3}$，∴AH=$\frac{BH}{\sqrt{3}}$=k，
∴AD=3k，AC=6k，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BH=$\frac{1}{2}×6k×\sqrt{3}k$=3$\sqrt{3}{k}^{2}$=3$\sqrt{3}$，
解得k=1，∴BC=6，
在△ABD中，$\frac{BD}{sinA}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{sin∠ABD}$
解得sin∠ABD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，6．

点评 本题考查三角形的内角的正弦值的求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．