Question

9．某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在$\widehat{NM}$上，∠MON=$\frac{π}{3}$，ON=OM=$\sqrt{3}$．设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．
（1）用含θ的式子表示DC、OB的长；
（2）试将S表示为θ的函数
（3）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数的定义即可表示出DC，OB；
（2）求出BC，代入面积公式得出S关于θ的函数；
（3）利用三角恒等变换化简S（θ），根据θ的范围和正弦函数的性质即可得出S的最大值．

解答 解：（1）DC=ODsin∠DOC=$\sqrt{3}$sinθ，
∵tan∠MON=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{DC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴OB=$\frac{DC}{\sqrt{3}}$=sinθ，
（2）OC=ODcosθ=$\sqrt{3}$cosθ，
∴BC=OC-OB=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ，
∴S=BC•DC=$\sqrt{3}$sinθ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ=$\frac{3}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵0$＜θ＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴当2θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{6}$时，S取得最大值$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．