Question

15．已知函数f（x）=3sinωxcosωx-4cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为π，且$f（θ）=\frac{1}{2}$，则$f（{θ+\frac{π}{2}}）$=（　　）

• A． $-\frac{5}{2}$
• B． $-\frac{9}{2}$
• C． $-\frac{11}{2}$
• D． $-\frac{13}{2}$

Answer 1

分析 化函数f（x）为正弦型函数，写出f（x）的最小正周期，求得ω的值；
写出f（x），利用$f（θ）=\frac{1}{2}$计算$f（{θ+\frac{π}{2}}）$的值．

解答 解：函数f（x）=3sinωxcosωx-4cos²ωx
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-2（1+cos2ωx）
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-2cosωx-2
=$\frac{5}{2}$sin（2ωx-α）-2，其中tanα=-$\frac{4}{3}$；
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；
∴f（x）=$\frac{5}{2}$sin（2x-α）-2；
又$f（θ）=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$sin（2θ-α）-2=$\frac{1}{2}$，
∴sin（2θ-α）=1；
∴$f（{θ+\frac{π}{2}}）$=$\frac{5}{2}$sin[2（θ+$\frac{π}{2}$）-α]-2
=$\frac{5}{2}$sin（2θ+π-α）-2
=-$\frac{5}{2}$sin（2θ-α）-2
=-$\frac{5}{2}$×1-2=-$\frac{9}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．