Question

10．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，对a讨论，分当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；
（2）由f（x）在[1，e]上的最小值可能为端点处的函数值或极值，分别考虑解方程求得a，再由（1）可得单调性，即可得到所求最小值，进而得到a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，x＞0，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0可得x＞-a，则f（x）在（-a，+∞）递增；
（2）由f（x）在[1，e]上的最小值可能为端点处的函数值或极值，
若f（1）=-a为最小值，可得-a=$\frac{3}{2}$，即a=-$\frac{3}{2}$，
由（1）可得f（x）在[1，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，e]递增，
故f（x）在x=$\frac{3}{2}$处取得最小值，故不成立；
若f（e）=1-$\frac{a}{e}$为最小值，可得1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，即a=-$\frac{1}{2}$e，
由（1）可得f（x）在[1，$\frac{1}{2}$e）递减，在（$\frac{1}{2}$e，e]递增，
故f（x）在x=$\frac{1}{2}$e处取得最小值，故不成立；
若f（-a）=ln（-a）+1为最小值，可得ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，即a=-$\sqrt{e}$，
由（1）可得f（x）在[1，$\sqrt{e}$）递减，在（$\sqrt{e}$，e]递增，
故f（x）在x=$\sqrt{e}$处取得最小值，故成立．
则a=-$\sqrt{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．