Question

11．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$AB=BC=\frac{1}{2}A{A_1}$，E为BC的中点，则异面直线A₁E与D₁C₁所成角的正切值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{21}}}{21}$

Answer 1

分析 以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线A₁E与D₁C₁所成角的正切值．

解答 解：以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角系，
设$AB=BC=\frac{1}{2}A{A_1}$=1，则A₁（1，0，2），E（$\frac{1}{2}$，1，0），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$，1，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，0），
设异面直线A₁E与D₁C₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{21}{4}}•\sqrt{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{21}}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{21}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}$，
∴tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}}{\frac{2}{\sqrt{21}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
∴异面直线A₁E与D₁C₁所成角的正切值为$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．