Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证AC⊥BC₁
（2）求证AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC₁⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用直三棱柱的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC₁，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；

解答 证明：（1）∴CC₁⊥底面ABC
∴CC₁⊥AC…（1分）
∴AC=3  BC=4  AB=5
∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC…（2分）
∴AC⊥平面BCC₁B₁…（3分）
∴AC⊥BC₁…（4分）
（2）设BC₁∩B₁C=E，连接DE
∵BCC₁B₁是矩形，
∴E是BC₁的中点…（5分）
又D是AB的中点，在△ABC₁中，DE∥AC₁…（6分）
又AC₁?平面CDB₁，DE?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁…（8分）

点评 本题主要考查了勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．