Question

16．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，侧棱AA₁⊥平面ABC，E，F分别为A₁B₁，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁∥面BEF；
（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知及三角形的中位线定理可证EF∥B₁C₁，进而利用线面平行的判定定理即可得证．
（Ⅱ）利用线面垂直的性质及判定定理即可作图得解．

解答 （本题满分8分）
证明：（Ⅰ）∵E，F分别为A₁B₁，A₁C₁的中点，
∴EF∥B₁C₁．
又∵EF?面BEF，B₁C₁?面BEF，
∴B₁C₁∥面BEF．       …（5分）
（Ⅱ）作图如下：

…（8分）

点评 本题主要考查了三角形的中位线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的性质及判定定理的综合应用，考查了数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．