Question

已知二次函数y=f（x）满足f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，求：
（Ⅰ）f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）在（0，1）上的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）设f（x）的一般式y=ax²+bx+c，结合f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可．
（II）结合（I）中函数的解析式和二次函数的图象和性质，分析函数的最值，进而可得f（x）在（0，1）上的值域

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）的一般式y=ax²+bx+c，
∵f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，
∴

c=1 a+b+c=1 1 4 a+ 1 2 b+c= 3 4

解得

a=1 b=-1 c=1

∴f（x）=x²-x+1…..…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x²-x+1的解析式可化为：
f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈(0，1)；
当x=

1

2

时，f(x)min=

3

4

；当x=1时，f（1）=1，
综上，f（x）在（0，1）上的值域是[

3

4

，1)…（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次函数解析式的求法，熟练掌握待定系数法的步骤和二次函数的图象和性质是解答的关键．