Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点M（0，b），△MF₁F₂为正三角形且周长为6，直线l：x=my+4与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据上顶点M（0，b），△MF₁F₂为正三角形且周长为6，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：x=my+4代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求

OA

•

OB

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵上顶点M（0，b），△MF₁F₂为正三角形且周长为6，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）直线l：x=my+4代入椭圆方程，得（3m²+4）y²+24my+36=0，
由△=（24m）²-4×36×（3m²+4）＞0
可得m²＞4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-

24m

3m2+4

，y₁y₂=

36

3m2+4

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=-4+

116

3m2+4

，
∵m²＞4，
∴3m²+4＞16，
∴

OA

•

OB

∈（-4，

13

4

）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．