Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
椭圆上的点P满足∠PF₁F₂=90°，且△PF₁F₂的面积S△PF1F2=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-1平分？若存在，求出l的斜率取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先求出c，再利用三角形的面积公式，求出|PF₁|=

1

2

，可得|PF₂|=

7

2

，从而求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，判别式△＞0，即m²＜4k²+1，MN被直线x=-1平分，可知k≠0，

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

=-1，m=

1+4k2

4k

，由此即可求出l的斜率取值范围．

解答： 解解：（Ⅰ）由题意知：|F₁F₂|=2c=2

3

，…（1分）
∵椭圆上的点P满足∠PF₁F₂=90°，且S △PF1F2=

3

2

，
∴S △PF1F2=

1

2

|F₁F₂||PF₁|=

1

2

×2

3

|PF₁|=

3

2

．
∴|PF₁|=

1

2

，
∴|PF₂|=

7

2

．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，
∴a=2．                  …（2分）
又∵c=

3

，
∴b=

a2-c2

=1．                 …（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．                  …（4分）
（Ⅱ）假设这样的直线l存在．
∵l与直线x=-1相交，
∴直线l的斜率存在．
设l的方程为y=kx+m，…（5分）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．（*）…（6分）
∵直线l与椭圆C有两个交点，
∴（*）的判别式△＞0，即m²＜4k²+1．①…（7分）
设设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8km

1+4k2

．　…（8分）
∵MN被直线x=-1平分，可知k≠0，
∴

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

=-1，
∴m=

1+4k2

4k

． ②…（9分）
把②代入①，得（

1+4k2

4k

）²＜4k²+1，即48k⁴+8k²-1＞0．…（10分）
∵k²＞0，∴k²＞

1

12

．                         …（11分）
∴k＜-

3

6

或k＞

3

6

．
即存在满足题设条件的直线l，且l的斜率取值范围是（-∞，-

3

6

）∪（

3

6

，+∞）．               …（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．