Question

给出下列结论：
①与圆x²+y²=1及圆x²+y²-8x+12=0都外切的圆的圆心在一个椭圆上．
②若直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4右支有两个公共点，则k∈(1，

5

2

)．
③经过椭圆

x2

2

+y2=1的右焦点F作倾斜角为60⁰的直线l交椭圆于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则

AF

=

9+3 2

7

FB

．
④抛物线y²=2x上的点P到直线y=x+4的距离的最小值为

7 2

4

．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆x²+y²=1及圆x²+y²-8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，命题①错误；
②联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的一元二次方程后由两根均大于0列式求解k的取值范围，则结论②得到判断；
③写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求出A，B的横坐标，进一步求出向量

AF

，

FB

的横坐标，不满足

AF

=

9+3 2

7

FB

，否定结论；
④求出与直线y=x+4平行且与抛物线y²=2x相切的直线方程，由两条平行线间的距离公式求出抛物线y²=2x上的点P到直线y=x+4的距离的最小值，结论得到判断．

解答： 解：对于①，设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x²+y²=1的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x²+y²-8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，∴点P的轨迹是双曲线的一支．命题①错误；
对于②，设直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4右支有两个公共点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4两式联立得：（1-k²）x²+2kx-5=0．
∵有两个相异的交点，且在右支上，
故

1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)＞0 x1+x2= 2k k2-1 ＞0 x1x2= 5 k2-1 ＞0

，解得1＜k＜

5

2

．命题②正确；
对于③，∵椭圆

x2

2

+y2=1的右焦点F为（1，0），
∴经过椭圆

x2

2

+y2=1的右焦点F且倾斜角为60⁰的直线l的方程为y=

3

（x-1），
联立

y= 3 (x-1) x2 2 +y2=1

，得7x²-12x+4=0．
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则x3=

6-2 2

7

，x4=

6+2 2

7

．
∵1-x3=1-

6-2 2

7

=

1+2 2

7

，x4-1=

6+2 2

7

-1=

2 2 -1

7

，

1+2 2

7

≠

9+3 2

7

×

2 2 -1

7

．命题③错误；
对于④，设与直线y=x+4平行的直线方程为y=x+m，
联立

y=x+m y2=2x

，得y²-2y+2m=0．
由△=（-2）²-8m=0，得m=

1

2

．
∴与直线y=x+4平行且与抛物线y²=2x相切的直线方程为x-y+

1

2

=0．
由两平行线间的距离公式得：抛物线y²=2x上的点P到直线y=x+4的距离的最小值为

|4- 1 2 |

2

=

7 2

4

．
∴命题④正确．
∴正确结论的序号是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了学生的计算能力，是中档题．