Question

已知函数f（x）=

x2+9

x

，请利用单调性定义判断f（x）在[1，3]上的单调性，并求函数在[1，3]上的值域．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：直接利用单调性定义判断函数单调性的方法，证明f（x）在[1，3]上是减函数，然后求解函数的最值．

解答： （本小题满分14分）
解：在[1，3]上任取x₁＜，x₂且x₁＜x₂，…（2分）
则f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +9

x1

-

x 2 2 +9

x2

=

(x1-x2)(x1x2-9)

x1x2

…（6分）
∵1≤x₁＜x₂≤3∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，…（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）是在[1，3]上的减函数．…（10分）
∴f（x）_min=f（3）=6，f（x）_max=f（1）=10
因此，函数在[1，3]上的值域为[6，10]…（14分）

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，单调性的应用，基本知识的考查．