Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足Sn2=an(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ） 求S_n的表达式；
（Ⅱ） 设b_n=

Sn

2n+1

，数列{b_n}的前n项和Tn．证明Tn＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，利用已知条件推出{

1

Sn

}是首项为1，公差为2的等差数列，即可求S_n的表达式；
（Ⅱ）通过b_n=

Sn

2n+1

，化简表达式，利用裂项法数列{b_n}的前n项和T_n，即可证明Tn＜

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
代入Sn2=an(Sn-

1

2

)，
得2S_nS_n-1+S_n-S_n-1=0…（2分），
由于S_n≠0，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=2…（4分）
所以{

1

Sn

}是首项为1，公差为2的等差数列…（5分）
从而

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，所以Sn=

1

2n-1

…（8分）
（Ⅱ）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

) …（10分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]…（12分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（13分）
所以Tn＜

1

2

…（14分）

点评：本题考查数列求法的方法裂项法的应用，数列是等差数列的判断，考查计算能力．