Question

已知函数f（x）=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ωx-

π

3

）-1，（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间．
（3）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简，根据周期求得ω，则函数解析式可得．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调性增区间．
（3）根据x的范围，确定2x+

π

6

的范围，最后根据正弦函数的性质求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-1=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函数的单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
即函数的值域为[-2，1]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．综合考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．