Question

设函数f（x）为奇函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=

1

3

x³+x²-2ax（a为实数）
（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值；
（2）求x∈（0，2]时，f（x）的解析式；
（3）若f（x）在[

3

2

，2]上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用f（x）在x=-1处有极值，可得f′（-1）=1-2-2a=0，即可求a的值；
（2）设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），利用条件，即可求x∈（0，2]时，f（x）的解析式；
（3）若f（x）在[

3

2

，2]上为增函数，则f′（x）=x²+2x-2a≥0在[

3

2

，2]上恒成立，分离参数求最小值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²-2ax，
∴f′（x）=x²+2x-2a，
∵f（x）在x=-1处有极值，
∴f′（-1）=1-2-2a=0，
∴a=-

1

2

；
（2）设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
∴f（-x）=-

1

3

x³+x²+2ax，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

1

3

x³-x²-2ax；
（3）∵f（x）在[

3

2

，2]上为增函数，
∴f′（x）=x²+2x-2a≥0在[

3

2

，2]上恒成立，
∴2a≤x²+2x在[

3

2

，2]上恒成立，
∴2a≤

9

4

+3，
∴a≤

21

8

．

点评：了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）．会用导数判断函数单调性、求单调区间与极值．