题目内容
椭圆
+
=1的上，下顶点分别为A1，A2，左顶点为B1，左焦点为F1，若直线A1F1交直线A2B1于点D，则cos∠B1DF1= ．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由已知条件推导出直线A1F1的方程
x-y+
=0，直线A2 B2的方程
x+2y+2
=0，从而求出
=（-
，
），
=（
，
），由此能求出cos∠B1DF1的值．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| DB1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| DF1 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
解答：
解：∵椭圆
+
=1的上，下顶点分别为A1，A2，左顶点为B1，左焦点为F1，
∴A1（0，
），A2（0，-
），左顶点为B1（-2，0），左焦点为F1（-1，0），
∴直线A1F1的方程为
+
=1，即
x-y+
=0，
直线A2 B2的方程为
+
=1，即
x+2y+2
=0，
解方程组
，得D（-
，-
），
∵B1（-2，0），
∴
=（-
，
），
=（
，
），
cos＜
，
＞=
=
．
∴cos∠B1DF1=
．
故答案为：
．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴A1（0，
| 3 |
| 3 |
∴直线A1F1的方程为
| x |
| -1 |
| y | ||
|
| 3 |
| 3 |
直线A2 B2的方程为
| x |
| -2 |
| y | ||
-
|
| 3 |
| 3 |
解方程组
|
| 4 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∵B1（-2，0），
∴
| DB1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| DF1 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
cos＜
| DB1 |
| DF1 |
-
| ||||||||||||
|
| ||
| 14 |
∴cos∠B1DF1=
| ||
| 14 |
故答案为：
| ||
| 14 |
点评：本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线的截距式方程和向量知识的合理运用．
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