Question

命题“p：?x∈（1，

5

2

），使不等式tx²+2x-3＞0有解为真命题，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,特称命题

专题：分类讨论,简易逻辑

分析：方法一、运用分类讨论法，对t讨论，分t=0，t＞0，t＜0三种，讨论原不等式在（1，

5

2

）内有解的情况，注意构造函数，运用函数的单调性求解；
方法二、分离参数法，根据条件将t分离，得t＞

3-2x

x2

在区间（1，

5

2

）内有解，构造g（x）=

3-2x

x2

，求出g（x）在（1，

5

2

）内的值域，从而确定t的范围．

解答： 解法一、（分类讨论法）
当t=0时，原不等式即为2x-3＞0，解得x＞

3

2

，显然在（1，

5

2

）内有解，成立；
当t＞0时，不等式tx²+2x-3＞0在（1，

5

2

）内有解，令f（x）=tx²+2x-3，
则由于△=4+12t＞0，故方程f（x）=0有两个不等的实根x₁，x₂，
x₁=

-2- 4+12t

2t

＜0，x₂=

-2+ 4+12t

2t

＞0，
∴f（x）＞0的解集为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），
∵f（x）＞0在（1，

5

2

）内有解，
∴

-2+ 4+12t

2t

＜

5

2

，即1+3t＜（1+

5

2

t）²，
∴t＞0成立；
当t＜0时，不等式tx²+2x-3＞0在（1，

5

2

）内有解，
则令△=4+12t＞0，解得t＞-

1

3

，
∴-

1

t

＞3＞

5

2

，即区间（1，

5

2

）在抛物线对称轴的左边，为增区间，
∴只要f（

5

2

）＞0，即

25

4

t+2＞0，解得-

8

25

＜t＜0；
综上可得，实数t的取值范围是[0，+∞）∪（-

8

25

，0），即（-

8

25

，+∞）．
解法二、（分离参数法）
∵?x∈（1，

5

2

），使不等式tx²+2x-3＞0有解为真命题，
∴tx²+2x-3＞0在区间（1，

5

2

）内有解，
即t＞

3-2x

x2

在区间（1，

5

2

）内有解，
令g（x）=

3-2x

x2

，将g（x）配方得，g（x）=3（

1

x

-

1

3

）²-

1

3

，
∵1＜x＜

5

2

，

2

5

＜

1

x

＜1，
∴g（x）∈(-

8

25

，1)，
∴t＞-

8

25

．
即实数t的取值范围是：（-

8

25

，+∞）．

点评：本题主要以命题的真假判断为载体，考查不等式有解问题，通常有两种方法：参数分离法和分类讨论法，应注意转化为求函数的值域问题，并注意端点的取舍，可通过检验．