Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx（其中a＞0，e≈2.7）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：对于任意大于1的正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数f′（x），由题意可知：当x≥1时，f′（x）≥0恒成立，解出a的取值范围即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，只要令a=1，x=

n

n-1

即可．

解答： （Ⅰ）解：求导函数，可得f′(x)=

x-1

x2

∴x∈[

1

2

，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数单调递增
∴f（x）在[

1

2

，2]上有唯一极小值点，且为最小值点，最小值为f（1）=0
∵f(

1

2

)=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为1-ln2；
（Ⅱ）解：∵函数f(x)=

1-x

ax

+lnx，
∴f′(x)=

x- 1 a

x2

，
∵函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，
∴当x≥1时，f′（x）≥0恒成立，即

1

a

≤x（a＞0），x∈[1，+∞）恒成立，
∴

1

a

≤1（a＞0）解得a≥1．即为所求的取值范围；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知lnx≥-

1-x

x

，
令x=

n

n-1

，则ln

n

n-1

≥

1

n

，
∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间、最值及证明不等式，充分理解导数的意义及掌握恰当分类讨论思想和转化思想是解题的关键．