Question

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（Ⅰ）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

2

2

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；
（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，利用导数知识判断单调性，求出 x=

e

时，F（x） 取得最小值0．
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为y=kx+

e

2

-k

e

，由 f（x）≥kx+

e

2

-k

e

，对x∈R恒成立，求得k=

e

．再利用导数证明g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）成立，从而得到所求“分界线”方程．

解答： 解：（Ⅰ）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函数h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一个零点在区间（0，1），
则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-1，0恰好三个整数解
故h（-2）＞0，h（-3）≤0，解之得

4

3

≤a＜

3

2

．
（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，
则F′(x)=

(x- e )(x+ e )

x

．
所以当0＜x＜ 

e

时，F′（x）＜0；当x＜

e

时，F′（x）＞0．
因此x=

e

时，F（x）取得最小值0，
则f（x）与g（x）的图象在x=

e

处有公共点（

e

，

e

2

）．
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为y-

e

2

=k(x-

e

)，即y=kx+

e

2

-k

e

，
由f（x）≥kx+

e

2

-k

e

在x∈R恒成立，
则x²-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．
所以△=4(k-

e

)2≤0成立，
因此k=

e

．
下面证明g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）恒成立．
设G（x）=elnx-x

e

+

e

2

，则G′（x）=

e ( e -x)

x

．
所以当0＜x＜ 

e

时，G′（x）＞0；当x＞

e

时，G′（x）＜0．
因此x=

e

时G（x）取得最大值0，则g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）成立．
故所求“分界线”方程为：y=

e

x-

e

2

．

点评：本题主要考查解整式和分式不等式，导数知识判断单调性及其应用，存在性，以及探索、等价转化和推理证明能力，解决综合问题的能力．