Question

已知命题p：对于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解，若p∨q为真，且p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别求出命题p，q中的a的取值范围，再利用若p∨q为真，且p∧q为假，则p与q一真一假．即可得出．

解答： 解：若命题p：对于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；
由于(

m2+8

)max=3，∴a²-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1．
若命题q：不等式x²+ax+2＜0有解，则△=a²-8≥0，解得a≥2

2

或a≤-2

2

．
若p∨q为真，且p∧q为假，则p与q一真一假．
当p真q假时，

a≥6或a≤-1 -2 2 ＜a＜2 2

，解得-2

2

＜a≤-1，此时a∈(-2

2

，-1]．
当q真p假时，

-1＜a＜6 a≥2 2 或a≤-2 2

，解得2

2

≤a＜6，此时a∈[2

2

，6)．
综上可知：a的取值范围是(-2

2

，-1]∪[2

2

，6)．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、恒成立问题的等价转化、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．