Question

设函数f(x)=

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x3-x2+ax-a（a∈R），且x=-1是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有三个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用x=-1是函数f（x）的一个极值点，求出a，即可求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）由a=-3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有三个实数根，则实数k介于极大值与极小值之间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

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x3-x2+ax-a，
∴f′（x）=x²-2x+a，
∵x=-1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（-1）=1+2+a=0，
∴a=-3，
∴f′（1）=-4，
∵f（1）=-

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，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+

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=-4（x-1），即12x+3y-10=0；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
当x＜-1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（-1，3）上单调递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为f(x)极大值=f(-1)=

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；
当x=3时，f（x）取得极小值为f（x）_极小值=f（3）=-6；
（Ⅲ）∵方程f（x）=k有三个实数根，f(x)极大值=f(-1)=

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，f（x）_极小值=f（3）=-6
∴-6＜k＜

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．

点评：本题考查导数知识的运用，考查学生利用导数研究函数极值的能力，分类讨论的数学思想，属于中档题．