Question

设函数f（x）=

1

2

-

1

2x+1

（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；
（3）求函数f（x）在x∈[0，1]上的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可证明函数f（x）是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上时增函数；
（3）利用函数的单调性即可求函数f（x）在x∈[0，1]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
∴f（-x）+f（x）=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-

1

2x+1

-

2x

1+2x

=1-1=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

2

-

1

2x1+1

-（

1

2

-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂
则2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
即函数f（x）在R上是单调递增函数．
（3）由（2）知函数f（x）R上单调递增，
则f（x）在[0，1]上单调递增，
f（0）=0，f（1）=

1

6

，
即0≤f（x）≤

1

6

，
即函数的值域为[0，

1

6

]

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断与证明，考查分析与推理能力，属于中档题．