Question

已知|a|＞1，若f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax≥-4a²在x∈[0，2|a|]上恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：构造新的函数g（x），则g（x）≥0在x∈[0，2|a|]上恒成立，只要满足g（x）_min≥0，对a分a＞1和a＜-1进行讨论，分别求出g（x）的最小值，求出a的取值范围．

解答： 解：由2x³-3（a+1）x²+6ax≥-4a²，即，2x³-3（a+1）x²+6ax+4a²≥0，
令g（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+4a²，g′（x）=6（x-1）（x-a），∵|a|＞1，
∴①当a＞1时，在g（x）在（0，1）和（a，2a）上单调递增，在（1，a）上单调递减，
∴

g(0)=4a2≥0 g(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2+4a2≥0

解得：1＜a≤7
②当a＜-1时，函数g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2|a|]上单调递增，∴f（x）在[0，2|a|]上最小值为g（1），
∴g（1）=2-3（a+1）+6a+4a²≥0，解得a＜-1或a＞

1

4

，即a＜-1；
综合①②得a的取值范围为（1，7]∪（-∞，-1）．
故答案为：（1，7]∪（-∞，-1）．

点评：本题目是一道导数的应用题，运用分类讨论思想，等价转化思想，属于中档题．