Question

定点A（-1，-

3

）在定圆x²+y²=4上，且A对于动弦BC的张角为30°，求△ABC面积最大值与此时B，C的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,解三角形

分析：根据正弦定理，结合三角形的面积公式进行化简，求出三角形面积最大的条件，然后根据角之间的关系，求出直线OB，OC的倾斜角，即可得到结论．

解答： 解：x²+y²=4，R=2，∠BAC=30°，B+C=150°
AB=2RsinC=4sinC，AC=4sinB
三角形ABC的面积
=

1

2

AB•AC•sin∠BAC
=

1

2

×4sinC•4sinB•sin30°
=4sinC•sinB
=-2[cos（B+C）-cos（B-C）]
=-2[cos150°-cos（B-C）]
=-2[-

3

2

-cos（B-C）]
=

3

+2cos（B-C）
∴当∠B=∠C时，cos（B-C）=2，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=∠C=75°，
此时三角形ABC的面积的最大值为2+

3

．
此时BC=2RsinA=4×

1

2

=2，
则∵A（-1，-

3

），
∴直线AO的效率k=

3

，即∠DOx=60°，
∵OB=OC=BC=2，
∴∠BOC=60°，∴∠DOC=30°
即∠COx=60°-30°=30°，
∴直线OC的倾斜角为30°，直线OB的倾斜角为60°+30°=90°，
∴C点的坐标为（2cos30°，2sin30°），即（

3

，1），
B点的坐标为（0，2）．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查学生的计算能力．根据条件求出直线OB，OC的倾斜角是解决本题的关键．