题目内容

如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AC=2
2
．AB=
2
．D为PA的中点，M为CD的中点，N为PB上一点，且PN=3BN．
（Ⅰ）求证：MN⊥PA；
（Ⅱ）求二面角B-CD-A的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用
分析：（Ⅰ）过A在平面ABC内做AX⊥AC，建立坐标系，求出向量的坐标，利用
MN
•
PA
=0，即可得出MN⊥PA；
（Ⅱ）求出平面ADC、平面BCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角B-CD-A的大小．
解答： （Ⅰ）证明：过A在平面ABC内做AX⊥AC，由PA⊥平面ABC，故可建立如图所示的坐标系，则
A（0，0，0），B（
6
2
，
2
2
，0），C（0，2
2
，0），P（0，0，2），D（0，0，1）
∵M为CD的中点，
∴M（0，
2
，0.5），
∵N为PB上一点，且PN=3BN，
∴N（
3
6
8
，
3
2
8
，0.5），
∴
MN
=(
3
6
8
，-
5
2
8
，0)，
∵
PA
=（0，0，-2），
∴
MN
•
PA
=0，
∴MN⊥PA；
（Ⅱ）解：沿x轴方向取AF=1，则
AF
=（1，0，0），∴
AF
为平面ADC的一个法向量．
设平面BCD的法向量为
n
=（x，y，1），
∵
CD
=（0，-2
2
，1），
BC
=（-
6
2
，
3
2
2
，0）
∴
-
6
2
x+
3
2
2
y=0
-2
2
y+1=0
，
∴取
n
=（
6
4
，
2
4
，1），
∴cos＜
n
，
AF
＞=
n
•
AF
|
n
||
AF
|
=
6
4
6
2
=
1
2
，
∴二面角B-CD-A的大小为
π
3
．
点评：本题考查考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，确定平面的法向量是关键．
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3
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