Question

如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=

2

3

AD，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（Ⅰ） 求证：平面PBE⊥平面PEF；
（Ⅱ） 求二面角E-PF-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．
（II）设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E-PF-C的大小．

解答： （I）证明：在Rt&△DEF中，
∵ED=DF，∴∠DEF=45°，
在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，
∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，（3分）
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
∵EF?平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）
（II）解：由题意，不妨设AD=3，
以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，
以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．（7分）
∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=

2

3

AD，
∴E(0，-1，0)，P(1，-2，

2

)，F(1，0，0)，C(2，0，0)，
∴

EP

=(1，-1， 

2

)，

CP

=(-1，-2， 

2

)， 

FP

=(0，-2， 

2

)．
设平面PEF和平面PCF的法向量分别为

n1

=（x₁，y₁，z₁），

n2

=（x₂，y₂，z₂）．
由

n

1•

EP

=0及

n

1•

FP

=0，
得到

x1-y1+ 2 z1=0 -2y1+ 2 z1=0

，∴

n1

=(1，-1，-

2

)．
又由

n2

•

CP

=0及

n2

•

FP

=0，
得到

-x2-2y2+ 2 z2=0 -2y2+ 2 z2=0

，∴

n2

=(0，1，

2

)，（9分）|cos＜n1，n2＞|=

|0-1-2|

1+1+2 • 1+2

=

3

2

，（11分）
综上所述，二面角E-PF-C大小为150°．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．