Question

已知点A（1，a），圆x²+y²=4．
（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点A在圆x²+y²=4上，将点A坐标代入圆的方程，解出a=±

3

．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；
（2）设所求切线的方程为x+y-m=0，利用点到直线的距离公式建立关于m的等式，解之得m=±2

2

，从而得出经过点A且在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．

解答： 解：（1）圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r=2．
∵过点A的圆的切线只有一条，
∴点A（1，a）是圆x²+y²=4上的点，可得1²+a²=4，解之得a=±

3

．
①当a=

3

时，点A坐标为（1，

3

），可得OA的斜率k=

3 -0

1-0

=

3

．
∴经过点A的切线斜率k'=

-1

k

=-

3

3

，
因此可得经过点A的切线方程为y-

3

=-

3

3

（x-1），化简得x+

3

y-4=0；
②当a=-

3

时，点A坐标为（1，-

3

），
利用与①类似的方法进行计算，可得经过点A的切线方程为x-

3

y-4=0．
∴若过点A的圆的切线只有一条，则a的值为±

3

，相应的切线方程方程为x+

3

y-4=0和x-

3

y-4=0．
（2）设过点A且在两坐标轴上截距相等的直线，
它在两轴上的截距都为m，可得它的方程为x+y-m=0，
∵直线与圆x²+y²=4相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，即

|0+0-m|

2

=2，解之得m=±2

2

．
因此，过点A且在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程为x+y±2

2

=0．

点评：本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．