Question

已知f(x2-5)=loga

x2

10-x2

(a＞0，且a≠1)．
（1）求f（x）的解析式，并写出定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）通过令x²-5=t，求出x，将t与x代入已知表达式，求出f（x）通过已知条件求出函数的定义域．
（2）通过（1）函数的表达式，利用奇偶性的定义判断证明即可．
（3）利用对数函数的单调性将符号f脱去，直接求解二次不等式，得到不等式的解集．

解答： 解：：（1）令x²-5=t，则x²=t+5．
∴f(x2-5)=loga

x2

10-x2

化为f（t）═loga

t+5

10-t-5

=loga

t+5

5-t

．
∴f(x)=loga

x+5

5-x

，要使函数有意义，必须

x+5

5-x

＞0，解得x∈（-5，5）．
（2）∵函数的定义域关于原点对称，∴f(-x)=loga

-x+5

5-(-x)

=-loga

x+5

5-x

=-f（x）．
∴函数是奇函数．
（3）当a＞1时，f（x）≥0成立，
即loga

x+5

5-x

＞0
⇒loga

x+5

5-x

＞loga1，
∴

x+5

5-x

＞1
⇒

x+5

5-x

-1＞0
⇒

x+5+x-5

5-x

＞0
⇒

2x

x-5

＜0，
解得x∈[0，5）．

点评：本题考查对数不等式的解法，函数的解析式的求法，函数的定义域以及函数的奇偶性的判断与证明，考查计算能力．