Question

已知{a_n}是等比数列，其中a₁，a₈是关于x的方程x²-2xsinα-

3

sinα=0的两根，且（a₁+a₈）²=2a₃a₆+6，则锐角α的值为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  5π

  12

Answer 1

考点：等比数列的性质,函数的零点,等比数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：由已知条件运用韦达定理推导出a₁+a₈=2sinα，a₁•a₈=a₃a₆=-

3

sinα，由（a₁+a₈）²=2a₃a₆+6，得4sin²α=6-2

3

sinα，由此能求出锐角α的值．

解答： 解：∵{a_n}是等比数列，a₁和a₈是关于x的方程x²-2xsinα-

3

sinα=0的两根，
∴a₁+a₈=2sinα，a₁•a₈=a₃a₆=-

3

sinα，
∵（a₁+a₈）²=2a₃a₆+6，
∴4sin²α=6-2

3

sinα，解得sinα=

3

2

，
∴锐角α的值为

π

3

．
故选C．

点评：本题考查等比数列的性质和运用，考查三角函数的求值，注意特殊角的三角函数值，属于中档题．