Question

20．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，|DC|=2|BD|．
（1）求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的值；
（2）若（$\overrightarrow{AB}$-t•$\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{CD}$=0，求t的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}，BC$，代入数量积公式计算；
（2）求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$，${\overrightarrow{CD}}^{2}$，代入原式可得关于t的方程，解出t即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×1×cos120°=-1.$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+$$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}$-$\frac{2}{3}×{2}^{2}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{8}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}×{2}^{2}+\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．
BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcos120°}$=$\sqrt{7}$，∴CD=$\frac{2}{3}BC$=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．∴${\overrightarrow{CD}}^{2}$=$\frac{28}{9}$．
∵（$\overrightarrow{AB}$-t•$\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{CD}$=0，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$-t${\overrightarrow{CD}}^{2}$=0，即$\frac{10}{3}$-$\frac{28}{9}$t=0，解得t=$\frac{15}{14}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出其他向量是关键．