Question

10．已知{a_n}为等差数列，且a₂=-1，a₅=8．求
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求得2ⁿ•a_n=（3n-7）•2ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=-1，a₅=8，可得a₁+d=-1，a₁+4d=8，
解方程可得a₁=-4，d=3，
则a_n=a₁+（n-1）d=-4+3（n-1）=3n-7；
（2）2ⁿ•a_n=（3n-7）•2ⁿ，
前n项和S_n=-4•2+（-1）•4+2•8+…+（3n-7）•2ⁿ，
2S_n=-4•4+（-1）•8+2•16+…+（3n-7）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-S_n=-8+3（4+8+…+2ⁿ）-（3n-7）•2ⁿ⁺¹
=-8+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-7）•2ⁿ⁺¹
化简可得S_n=20+（3n-10）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．