Question

20．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{x+2}|，\;\;\;x≤0\\|{lo{g_2}x}|，\;\;x＞0\end{array}\right.$若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{3}^{2}{x}_{4}}$的取值范围是（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． [-3，3）
• D． （-3，3]

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{x+2}|，\;\;\;x≤0\\|{lo{g_2}x}|，\;\;x＞0\end{array}\right.$的图象，从而可得x₁+x₂=-4，x₃x₄=1，$\frac{1}{4}$≤x₃＜1，从而解得．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{x+2}|，\;\;\;x≤0\\|{lo{g_2}x}|，\;\;x＞0\end{array}\right.$的图象如下，
，
结合图象，
A，B，C，D的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，
故x₁+x₂=-4，x₃x₄=1，
故${x_3}（{x_1}+{x_2}）+\frac{1}{{{x_3}^2{x_4}}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$-4x₃，
∵0＜-log₂x₃≤2，
∴$\frac{1}{4}$≤x₃＜1，
∴-3＜$\frac{1}{{x}_{3}}$-4x₃≤3，
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．