Question

9．已知函数f（x）=|x-a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．
（1）求a+b的值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）讨论当x＜-b时，当-b≤x≤a时，当x＞a时，去掉绝对值，再由函数的单调性可得f（x）的最小值，即可得到a+b的值；
（2）运用乘1法，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）当x＜-b时，f（x）=a-x+2（-x-b）=a-2b-3x，
可得f（x）＞a+b；
当-b≤x≤a时，f（x）=a-x+2（x+b）=a+2b+x，
可得a+b≤f（x）≤2a+2b；
当x＞a时，f（x）=x-a+2x+2b=3x-a+2b，
可得f（x）＞2a+2b．
综上可得f（x）的最小值为a+b，
由题意可得a+b=1；
（2）$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$
≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当b=$\sqrt{2}$a，即a=$\sqrt{2}$-1，b=2-$\sqrt{2}$，
取得最小值3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查解不等式的运用：求最值，注意运用乘1法，考查运算能力，属于中档题和易错题．