Question

在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC中点．
（1）求点B₁到平面A₁BD的距离；
（2）求二面角A₁-DB-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求出平面的法向量，然后利用点面之间的距离公式求出结果．
（2）直接求出平面B₁BD的法向量，利用（1）中的法向量，利用向量的夹角求出结果．

解答： 解：（1）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，
以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，
∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2

，0），D（0，0，0），B₁（0，2

2

，3），
∴

DA1

=（-1，0，3），

DB

=（0，0），

DB1

=（0，2

2

，3），
设平面A₁BD的法向

n

=（x，y，z），
则：

-x+3z=0 2 2 y=0

解得：

n

=（3，0，1），
∴d=

| n • DB1 |

| n |

=

3 10

10

．
（2）首先利用DC⊥平面B₁BD，则设平面B₁BD的法向量为：

DC

=（1，0，0），
∴cos＜

DC

，

n

＞=|

DC • n

| DC |•| . n |

|=

3 10

10

∴二面角A₁-DB-B₁的余弦值

3 10

10

．

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角，点面之间的距离，二面角的应用．属于基础题型．