Question

f（x）=x³+3ax+3x+1
（1）当a=-

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）代入求出f（x）的表达式，再根据导数求出函数的单调区间，
（2）先求出f（2）≥0时a的范围，再证明函数单调性，问题得以解决．

解答： 解：（1）当a=-

2

时，f（x）=x³-3

2

x+3x+1，
∴f′（x）=3x²-3

2

+3，
令f′（x）=0，解得x=±

2 -1

，
当f′（x）＞0，即x＞

2 -1

时，或x＜-

2 -1

时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即-

2 -1

＜x＜

2 -1

时，函数f（x）单调递减，
故函数f（x）在（-∞，-

2 -1

），（

2 -1

，+∞）上单调递增，在（-

2 -1

，

2 -1

）上单调递减．
（2）∵f（2）≥0，解得a≥-

5

2

，
当x∈（2，+∞）时，
∵f′（x）=3（x²+a+1），
∴f′（2）=3（a+5）＞0，
解得a＞-5，
故当a≥-

5

2

，函数f（x）单调递增，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a的取值范围是[-

5

2

，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．