Question

已知f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：本题（1）通过化简，利用辅助角公式，将题目中的三角函数化成

2

sin（2x+

π

4

），利用

2π

|ω|

求出函数f（x）的最小正周期；（2）由自变量x的范围，求出2x+

π

4

的取值范围，结合正弦函数图象，求出sin（2x+

π

4

）的取值范围，从而得到函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+cos2x，x∈R，
∴f（x）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

+sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

+cos2x
=2sin2xcos

π

3

+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x+

π

4

）．
∴T=

2π

2

=π．
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3

4

π，
∵-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
（当且仅当2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时，取最小值；
2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，取最大值）
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

．
∴函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为

2

，最小值为-1．

点评：本题考查了三角函数的化简、三角函数的图象，本题难度不大，属于基础题．