Question

有以下五个命题：
（1）设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1；
（2）若a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长，a²+b²-c²＞0，则△ABC一定是锐角三角形；
（3）若A，B是三角形△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
（4）若关于x的不等式ax-b＜0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式

bx+a

x+2

＜0的解集为（-2，-1）；
（5）函数y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）的最小值为4；
其中真命题为

 

（所有正确的都选上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）依题意，可推出数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1，据此可判断（1）；
（2）△ABC中，利用余弦定理，a²+b²-c²＞0⇒∠C为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，从而可判断（2）；
（3）在△ABC中，sinA＜sinB，利用正弦定理可判断（3）；
（4）关于x的不等式ax-b＜0的解集为（1，+∞）⇒a＜0且a=b，于是解不等式

bx+a

x+2

＜0可判断（4）；
（5）依题意，令t=sinx∈（0，1]，构造函数g（t）=t+

4

t

，利用对勾函数的单调性质可求得g（t）_min=g（1）=1+

4

1

=5，可判断（5）．

解答： 解：对于（1）：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），又a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1，（1）正确；
对于（2）：△ABC中，∵a²+b²-c²＞0，
∴角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，（2）错误；
对于（3）：∵A，B是三角形△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，
∴由正弦定理可知，

BC

2R

＜

AC

2R

（其中2R为△ABC的外接圆的直径），
∴BC＜AC，（3）正确；
对于（4）：∵不等式ax-b＜0的解集为（1，+∞），
∴a＜0且a=b，
∴

bx+a

x+2

＜0?

x+1

x+2

＞0?

x+1＞0 x+2＞0

或

x+1＜0 x+2＜0

，解得：x＞-1或x＜-2，
∴关于x的不等式

bx+a

x+2

＜0的解集为（-∞，-2）∪（-1，+∞），（4）错误；
对于（5）：∵0＜x＜π，∴t=sinx∈（0，1]，
由对勾函数g（t）=t+

4

t

的单调性质可知，g（t）=t+

4

t

在（0，1]上单调递减，
∴g（t）_min=g（1）=1+

4

1

=5，（5）错误．
综上述，正确命题的序号为（1）（3）．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查等比关系的确定及其通项公式的应用，考查正弦定理与分式不等式的解法及基本不等式的应用，突出考查转化思想．