Question

已知数列{a_n}是等比数列，首项a₁=2，a₄=16，数列{b_n}是等差数列，且b₃=a₃，b₅=a₅，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若求数列{b_n}的通项公式及前n项的和S_n；
（Ⅲ）求数列{|b_n|}前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（Ⅰ）利用等比数列的通项公式，求出公比的值，利用数列项一关系，求出数列{a_n}的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列项与项的关系，求出数列的公差，进而求出数列{b_n}的通项公式及前n项的和S_n；（Ⅲ）根据数列的正项和负项，分类讨论，求出数列{|b_n|}前n项的和，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为数列{a_n}是等比数列且首项a₁=2，a₄=16，
∴公比q³=

a4

a1

16

2

=8，
故q=2．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=a₁•q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b₃=a₃=2³=8，b₅=a₅=2⁵=32，
而数列{b_n}是等差数列，
∴数列{b_n}的公差d=

b5-b3

5-3

=

32-8

2

=12．
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=b₃-（n-3）d=8+（n-3）×12=12n-28．
即b_n=12n-28．（n∈N^*）．
∴b₁=-16，
∴数列{b_n}的前n项的和为：S_n=

(-16+12n-28)n

2

=6n²-22n．
∴S_n=6n²-22n．（n∈N^*）．
（III）

∵bn=12n-28

，
∴当n＜3，n∈N^*时，b_n＜0，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…-b_n=-（b₁+b₂+…+b_n）=-S_n=22n-6n²．（n∈N^*）．
当n≥3，n∈N^*时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂+b₃+b₄+…+b_n=S_n-2（b₁+b₂）=6n²-22n-2（-16-4）=6n²-22n+40．
∴T_n=

-6n2+22n，1≤n≤2 6n2-22n+40，n≥3

n∈N^*．

点评：本题考查了等差数列通项公式、等比数列通项公式以及数列求和公式，本题难度适中，属于中档题．